PMRI

NAMA                         : TENNY ARIANI

NIM                            : 20102812021

MATA KULIAH            : LANDASAN KEPENDIDIKAN

DOSEN PENGAMPU :Prof. Dr. Zulkardi, M.I.Kom, M.Si

Dr. Ratu Ilma Indra Putri., M.Si.

PEND MATEMATIKA

PPS UNIVERSITAS SRIWIJAYA

How Concrete is Concrete?

Seberapa kongkret yang kongret?

Abstrak

Jika kita ingin membuat sesuatu yang konkret dalam pendidikan matematika, kita cenderung memperkenalkan, apa yang kita sebut, "Manipulatif”, dalam bentuk benda taktil atau representasi visual. Jika kita ingin untuk membuat sesuatu yang konkret dalam percakapan di kehidupan sehari-hari, kita mencari contoh. Sebelumnya, kami mencoba untuk membuat model konkret untuk kita sendiri, pengetahuan abstrak,; kemudian, kami mencoba untuk
menemukan contoh yang dekat dengan orang lain. Artikel ini pertama kali terlihat pada penekanan antara dua cara berbeda untuk membuat hal-hal konkret. Berikutnya peran lain dari manipulasi akan dibahas, yaitu scaffolding dan komunikasi. Dalam peran ini,
manipulasi dapat berfungsi sebagai sarana penunjang dalam proses yang bertujuan membantu siswa untuk membangun pemikiran mereka sendiri, dan membangun matematika yang lebih canggih.

Pendahuluan

Matematika adalah abstrak, dan tidak mudah di cerna oleh siswa. Dalam pendidikan kita sering mencoba untuk mengakomodasi siswa dengan memperkenalkan model taktil atau visual dari matematika abstrak yang kita ingin mereka belajar. Idenya kemudian adalah membuat abstraknya Matematika menjadi kongkret. Namun, jika kita ingin membuat sesuatu yang kongret dalam diskusi kehidupan sehari-hari, kita akan memberikan sebuah contoh dimana contoh tersebut dekat/akrab dengan orang lain. Jadi ada yang kontras yang menarik antara cara kita membuat sesuatu yang konkret dalam kehidupan sehari-hari, dan cara kita melakukan ini dalam pendidikan matematika. Kita boleh berelaborasi dengan mengamati dalam pendidikan matematika. kita menggunakan apa yang disebut Manipulatif-baik dalam bentuk benda taktil atau sebagai representasi visual - untuk membantu siswa untuk membuat koneksi dengan apa yang kita ketahui. Sementara, ketika memberikan contoh bahwa orang lain akan akrab dengan, dalam percakapan, kami mencoba untuk membuat koneksi dengan apa yang mereka ketahui. Alasan mengapa saya ingin membuat artikel ini adalah kebiasaan kita untuk membuat sesuatu yang kongkret bagi siswa tidak berhasil, dan bahwa kita sudah lebih baik mencoba untuk mengikuti cara lain untuk membuat membuat hal-hal konkret bagi siswa tidak bekerja, dan bahwa kita lebih baik mencoba untuk mengikuti jalan lain untuk membuat hal-hal konkret dengan mencoba untuk menyambung ke apa yang siswa ketahui.

Membandingkan Pecahan

Contoh pertama diambil dari pengalaman mengajar pada tingkat 6, dimana siswa kita ceritakan tentang sebuah toko kue yang akan memilah kue besar untuk pesananan. Dalam konteks ini, siswa diberi potongan kertas panjang untuk menentukan proses pemotongan. Mereka diminta untuk memotong “banquet bars” (kue besar) menjadi delapan bagian sama atau enam, atau sepuluh dan sebagainya.

Setelah itu mereka diminta untuk menggunakan strip yang sama untuk membandingkan 1/3 dan 2/6. Siswa menyelesaikan permasalahan dengan membandingkan panjang potongan yang dihasilkan dari 2 potongan yang berbeda---masing-masing dibagi 3 atau dibagi 6.  Pengerjaan demikan agar siswa mendapatkan kesimpulan bahwa 1/3 tidaklah sama dengan 2/6. Alasan ini merupakan hasil yang mengejutkan karena ternyata mereka memotong strip tidak terlalu cermat/tepat. Sudahkah mereka diberikan pecahan batangan yang sudah jadi, mereka akan sampai pada kesimpulan bahwa 1/3 = 2/6. Tetapi apakah kesimpulan tersebut berharga jika itu hanya berdasarkan – untuk perspektif siswa---panjang yang sembarang dari setiap kepingan? Dengan potongan batangan yang sudah jadi, siswa akan melihat bahwa 1/3 = 2/6, tetapi mereka hanya akan dengan mudah percaya bahwa 1/3 tidak sama 2/6. Dengan kata lain, perwakilan siasat tidak mendukung sebuah penyelesaian yang mendalam. Kita boleh memperdebatkan bahwa ini dikarenakan mereka tidak dibutuhkan untuk berpikir, yang mereka harus lakukan adalah untuk mempercayai bahwa apa yang mereka lihat dari sebuah contoh yang diberikan adalah kebenaran pasti/kebenaran universal. Dari sudut pandang matematika kita mau siswa member alasan mengaa 1/3 harus sama dengan 2/6. Lebih dari itu, bentuk alasan memiliki kemungkinan yang banyak untuk siswa-siswa. Ketika membagi banquet bars dalam beberapa cara berbeda dalam aktivitsa awal, mereka menggunakan alasan untuk sebuah strategi. Ketika membagi sebuah banquet bar menjadi 6 potongan , misalanya, mereka menggunakan strategi berikut ini:

-          Masing-masing strip dibagi menjadi 3 potongan dan membagi masing-masing menjadi dua lagi

-          Membagi strip menjadi 2 bagian, dan membagi masing masing menjadi 3 potongan,

Atas dasar ini, kita dapat mengasumsikan bahwa siswa-siswa ini akan mampu memberi alasan mengapa 1/3 harus jadi 2/6. Jadi daripada menawarkan siswa dengan materi/benda kongkret seperti menunjukkkna pengetahuan matematika, kita mungkin bisa mengambil kesempatan dari apa yang mereka ketahui. Untuk kebanyakan siswa hal ini tampak lebih alamiah untuk membagi sebuah batangan menjadi 3 bagian yang pertama dan masing-masing bagian lalu dibagi dua, untuk mendapat enam potongan yang sama. Dengan demikian pada level praktek, mereka sudah mengetahui bahwa 1/6 adalah setengah dari 1/3. Berdasarkan ide tersebut kita akan menghubungkan apa yang sudah dekat dengan siswa, kita akan mencoba membangun pengetahuan praktek untuk membantu siswa bagaimana 1/6 berhubungan dengan 1/3.

Dengan contoh ini, kita dapat menunjukkan 2 cara agar kongkret bisa dimengerti sebagai “materi yang kongket” atau sebagai “pengertian umum kongkret“. (Lihat juga  Gravemeijer & Nelissen, 2007)

Ketika kita mengabaikan sudut pandang siswa, kita mengambil resiko pada pemutusan matematika yang siswa pelajari dengan pengertian umum mereka. Sebagai konsekuensi, mereka mungkin memulai untuk memperlakukan matematika sekolah dan realitas kehidupan sehari-hari sebagai dua dunia yang berlainan.

Matematika Sekolah

Siswa sekolah dasar tingkat pertama dapat mengetahui hasil 16 + 9 = 25 tetapi ketika dibentuk dalam maka siswa bisa menjawab 15.  Ketika diwawancara, siswa tersebut menjawab hasil yang pertama 25 benar dan yang kedua juga benar. Hasil ini cukup mencengangkan sebuah dunia tampak dipisahkan dari dunia keseharian siswa tersebut.

Jurang Pemisah pada Pengetahuan

Perbedaan yang besar antara pengetahuan abstrak dari guru dan pengetahuan yang didapat dari pengalaman siswa menyebabkan ketidakcocokan. Guru dan penulis buku keliru menempatkan pengetahuan abstrak matematika mereka untuk sebuah objektivitas pengetahuan yang dimiliki siswa. Bagaimanapun kesenjangan antara pengetahuan guru dan pengetahuan siswa terlalu besar untuk untuk membuat ini berhasil. Manipulasi ini tidak dapat menjembatani kesenjangan ini, karena bahan-bahan pembelajaran menandakan ada di mata yang melihatnya. Sebuah cara untuk mengatasi masalah ini adalah untuk pergeseran menuju bentuk instruksi yang menawarkan kesempatan bagi siswa untuk membangun pengetahuan matematika mereka sendiri. Dalam kaitannya dengan ini, Freudenthal (1987) menawarkan pedoman, "Matematika harus memulai dan tetap dalam akal sehat" Ia menghubungkan hal ini dengan idenya tentang realitas,. yang ia mendefinisikan sebagai, "Pengalaman apa yang akal sehat sebagai nyata". Dia menunjukkan bahwa apa yang akal sehat untuk orang awam adalah berbeda dari apa yang akal sehat untuk matematika.

Pemikiran Logis (Masuk Akal)

Bagi kita orang dewasa , ”1 + 1 = 2” itu masuk akal, tetapi mungkin ini sangat berbeda untuk anak kecil. Pada usia tertentu, anak kecil tidak mengerti 4+4? Mereka akan lebih mudah mengerti apabila 4 apel ditambah 4 apel = 8 apel. Penjelasan untuk kejadian ini bagi mereka adalah, bilangan masil terletak pada objek-objek benda yang dapat dihitung.

Dalam refleksi, kita bisa menyimpulkan bahwa mencoba untuk membuat matematika abstrak menjadi kongkret dengan model-model visual merupakan permasalahan. Sehingga sebuah pendekatan menduga bahwa belajar dapat dilihat dengan membuat hubungan antara pengetahuan dari dalam diri siswa dengan beberapa pengetahuan dari luar yang diperoleh. Dalam hal ini,  guru dan siswa hidup di dua dunia berbeda, dunia matematikannya guru dan dunia kehidupan sehari-hari siswa. Satu-satunya cara untuk menjembatani perbedaan ini adalah dengan mencoba menghubungkan apa yang siswa tahu dan membantu mereka mengkonstruk matematika dari bawah ke atas ( bottom-up manner)

Kita dapat menyimpulkan bahwa model-model visual bisa mendukung proses pembelajaran yang dimulai dengan situasi yang konkret, masuk akal dan dekat dengan siswa. Sebagai catatatn, bagaimanapun pendekatan ini tidak tanpa resiko.

Dari Bawah ke Atas, menghubungkan dengan apa yang siswa ketahui

Alternatif untuk membantu siswa membangun pengetahuan matematika dari bawah ke atas menghubungkan dengan apa yang yang dekat dengan siswa. Pada kasus awal, tujuan akan membantu siswa dalam mengembangkan jaringan hubungan bilangan. Sebuah cara untuk melakukannya adalah dengan kegiatan yang melibatkan jumlah struktur. Di sini kita akan fokus pada membantu siswa dalam melihat hubungan jumlah yang sama berlaku untuk berbagai konteks. Selain itu, kita harus mendukung siswa dalam penalaran tentang hubungan bilangan. Langkah penting di sini adalah :

1.    menafsirkan resultative menghitung sebagai pembatasan menghitung objek individu, dan

2.    menafsirkan 'mengandalkan' dan 'menghitung kembali 'sebagai perluasan penghitungan resulative.

Atas dasar dua wawasan, siswa dapat menentukan kebenaran dari hubungan bilangan yang mereka temukan dengan generalisasi atas berbagai konteks.

Ketika membangun sebuah kerangka hubungan bilangan pada penjumlahan dan pengurangan sampai 20, kita dapat mulai dengan melihat strategi informal siswa menemukan sendiri. Penelitian menunjukkan bahwa siswa mahir mengembangkan strategi yang memanfaatkan ganda, dan lima dan sepuluh sebagai titik referensi. Tujuan dari pendekatan bottom-up adalah untuk mendorong penggunaan yang fleksibel hubungan bilangan, bukan untuk mengajarkan strategi. Dalam pandangan kami, pengetahuan siswa tentang hubungan bilangan membentuk dasar untuk apa – dari sudut pandang pengamat - terlihat seperti penerapan strategi. Kami akan berpendapat bahwa apa yang siswa lakukan adalah menggabungkan potongan-potongan pengetahuan (jumlah fakta yang siap untuk menyerahkan kepada mereka) untuk mendapatkan fakta-fakta bilangan yang baru.

Scaffolding
Kami memulai artikel ini dengan mengamati bahwa dalam pendidikan matematika, kita sering mencoba untuk mengakomodasi siswa dengan memperkenalkan model taktil atau visual dari matematika abstrak. Dalam contoh di atas kita membahas masalah yang datang dengan mencoba untuk membuat beton abstrak matematika dengan cara ini. Itu tidak berarti, bagaimanapun, bahwa sentuhan dan visual model tidak dapat memainkan peran. Juga dalam alternatif baik pendekatan ke atas, kami menganjurkan, seperti yang disebut manipulasi mungkin menawarkan cara yang berharga. Peran mereka, bagaimanapun sangat berbeda. Alih-alih berfungsi sebagai sarana menunjukkan pengetahuan matematis dari pendidik matematika, manipulasi dapat digunakan untuk membantu siswa mengekspresikan pemikiran mereka sendiri. Penggunaan manipulasi kemudian akan dilemparkan dalam hal scaffolding dan berkomunikasi.

Kesalahan
Model taktil dan visual dapat mendukung proses pembelajaran yang dimulai dengan situasi yang konkrit dalam arti akrab bagi siswa. Bagaimanapun juga pendekatan ini bukan tanpa risiko. Salah satu yang terlihat jelas adalah bahwa siswa hanya bisa menghitung manik-manik di rak, atau mulai membacakan hubungan nomor dari apa yang mereka lihat di rak. Mark
bahwa ini akan sangat mirip dengan risiko yang kita bahas sebelumnya dalam kaitannya dengan siap pakai bar fraksi. Sebaliknya, kita akan berpendapat bahwa jumlah hubungan yang lebih mendasar harus dilihat sebagai prasyarat. Sebelum memperkenalkan rak aritmatika, siswa harus menjadi akrab dengan nomor dasar hubungan-seperti 5 +2 = 7, atau 5 + 3 = 8 dan sebagainya. Ketika hubungan telah menjadi bagian dari "akal sehat" mereka, mereka dapat menggunakan hubungan dengan lancar tempat 7 atau 8 manik-manik, misalnya, di rak. Kemudian siswa dapat mulai fokus pada penalaran ilmu hitung. Ketika harus menambahkan 7 + 8, mereka bahkan mungkin mengantisipasi menggunakan "5 +5 = 10", sebelum menempatkan 7 dan 8 di rak. Dalam kasus seperti rak dapat berfungsi sebagai alat perancah, mungkin membantu siswa untuk melacak potongan mereka harus menggabungkan dalam cara yang cerdas, dalam hal ini 5 +5 = 10, dan 2 +3 = 5, sehingga 10 + 5 = 15, sebagai jawaban untuk masalah asli dari 7 +8.

Kesimpulan
"Membuat hal-hal konkret", dapat diuraikan sebagai membuat apa yang kita tahu atau
hooking up dengan apa yang siswa ketahui. Kita mungkin menyebutnya 'materi konkret' yang pertama, dan kedua 'pemikiran yang konkret. Kami menunjuk ke masalah dengan bentuk, dan dijabarkan terakhir sebagai alternatif yang bermanfaat. Dalam kaitannya dengan ini kami berpendapat bahwa, hal ini membantu untuk membuat perbedaan antara sudut pandang dan titik pandang pengamat. Kita cenderung melihat matematika dari sudut pandang pengamat; implisit membawa semua pengetahuan matematika yang kita miliki. dari perspektif seperti pengamat banyak hal mungkin tampak logis bagi kita yang tidak begitu jelas bagi para siswa. Dari perspektif siswa yang harus menyelesaikan masalah, atau menginterpretasikan
model kami hadir untuk mereka, tetapi tidak memiliki latar belakang matematika yang sama hal ini mungkin bisa dipahami. Dalam pengertian ini, itu bisa sangat berharga untuk mencoba membayangkan dari sudut pandang siswa, dan mencoba melihat melalui nya atau matanya. Dengan cara ini, kita dapat mulai dengan apa masuk akal bagi para siswa. Dari seterusnya, mungkin kita berusaha untuk mengikuti Adagio Freudenthal bahwa "matematika harus memulai dan tetap dalam akal sehat ', dengan mencoba untuk mendorong pertumbuhan dari apa yang masuk akal bagi siswa. Dalam pendekatan semacam itu, taktil dan
model visual tidak akan digunakan untuk membuat siswa "melihat" abstrak matematika, sebagai gantinya, materi dan visual representasi dapat digunakan oleh siswa sebagai alat scaffolfing dan mengkomunikasikan ide-ide mereka sendiri.

Koeno Gravemeijer

Eindhoven School of Education,

Eindhoven University of Technology, the Netherlands

koeno.gravemeijer@esoe.nl

Teori Pendidikan Matematika Realistis Sebagai Sebuah Petunjuk Bagi  Pembelajaran Matematika Berdasarkan Masalah, Interaktif

Realistic Mathematics Education Theory as A Guideline for Problem- Centered, Interactive Mathematics Education

Pendahuluan:

Lebih dari dasawarsa terakhir, pendidikan matematika telah mengalami perubahan. Ada pergeseran universal dari pemikiran tentang pemberian contoh sebagai ”transmisi pengetahuan” menuju” belajar sebagai pembangun pengetahuan”. Berhubungan dengan hal ini, telah ada pergerakan menuju penekanan pada masalah, interaktivitas matematika.

Matematika Problem-Centered

Siswa sudah terbiasa dengan budaya kelas dan norma sosial  bahwa guru selalu benar, tidak akan dengan mudah berpikir secara mandiri—membiarkan orang lain membagi pemikiran mereka (Desforges &  Cockburn,1987). Problem- Centered, interaktif, kelas membutuhkan pengajaran yang berbeda. Siswa harus mengadopsi norma sosial di dalam kelas misalnya kewajiban uuntuk berpikir oleh mereka sendiri, untuk mengajukan pertanyaan tentang penjelasan yang tidak mereka pahami dan  tantangan untuk berargumen terhadap apa yang tidak mereka setujui. Contract didaktik seperti ini harus dinegosiasi, karena hal ini bukan semata-mata memberitahu siswa bahwa aturan telah berubah.

Dengan menawarkan kesempatan atau tugaas terbuka, dengan memberikan siswa kesempatan untuk menggunakan materi kongkret yang membolehkan  bagi cara-cara berbeda dan tingkatan-tingkatan berbeda dalam menyelesaikan soall yang sama dan dengan mengatur mereka untuk bekerja dalam kelompok yang memberi kesempatan pada mereka untuk bertukar ide-ide, dengan tujuan budaya kelas dapat ditanamkan. Selain itu, konteks yang menginspirasi dapat memberanikan siswa terlibat dalam proses pembelajaran.

Menggiatkan Penemuan Kembali

Bagaimanapun, guru hanya dapat mempengaruhi apa yang siswa konstruk. Simon (1995) menawarkan penyelesaian potensial yaitu dengan memilih aktivitas pembelajaran pada siswa bagaimana siswa mereka bereaksi dan berpendapat. Dalam pandangan Simon, guru harus mencoba mengantisipasi aktivitas mental apa siswa yang akan dimunculkan ketika siswa terlibat dalam aktivitas pembelajaran. Sebagai tambahan,  guru juga harus mempertimbangkan bagaimana aktivitas mental tersebut berhubungan dengan tujuan pembelajaran. Simon (1995,135) menyebut ini kombinasi pembelajaran dan aktivitas mental dan hubungannya dengan tujuan pembelajaran sebagai sebuah ”Hypothetical Learning Trajectory” (Lintasan Belajar).  Simon menunjukkan bahwa memvisualkan lintasan belajaran benar-benar merupakan sebuah hypothetical. Oleh karena itu, guru harus menginvestigasi/menyelidiki apakah pembelajaran siswa sekarang berhubungan dengan yang disimpulkan. Penyelidikan ini akan menuntun pada pengertian baru untuk guru dengan memperhatikan pola pikir siswa. Pergantian dari antisipasi, perananam evaluasi dan revisi menciptakan sebuah putaran, iterasi, proses yang Simon sebut ”Putaran Mengajar Matematika” (Mathematical Teaching Cycle).

Teori RME

Pendidikan Matematika Realistik (RME) (Gravemeijer, 1994, 1999) adalah domain-spesifik instruksi teori, yang menawarkan panduan untuk instruksi yang bertujuan untuk mendukung siswa dalam membangun, atau menciptakan kembali matematika dalam masalah-berpusat instruksi interaktif. RME kembali ke ide-ide matematika dan pendidik matematika Hans Freudenthal. Freudenthal (1973) berpendapat bahwa siswa harus terlibat dalam "matematika sebagai activitas manusia" bukannya matematika diajarkan sebagai "produk yang dibuat siap". Menurut Freudenthal, siswa harus diberi kesempatan untuk menemukan kembali matematika menggunakan tugas yang dipilih dengan baik, dengan bantuan guru. Ini titik keberangkatan, untuk beberapa dekade, membentuk dasar dari desain penelitian di Nederlands dan di tempat lain, yang mengakibatkan berbagai teori instruksi lokal, dan domain-spesifik teori instruksi, dikenal sebagai teori RME. Ini seharusnya dicatat, meskipun deskripsi RME cenderung untuk fokus pada proses belajar, kegiatan, dan tugas-tugas, mereka menganggap masalah-berpusat, budaya kelas interaktif dan norma-norma sosial yang sesuai. RME lebih lanjut membutuhkan guru yang berperan aktif dalam merancang seluruh diskusi kelas dan dalam memilih dan `isu matematika sebagai topik untuk diskusi.